Задача 97776

Темы:    [ Количество и сумма делителей числа ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Автор: Левин М.

Найдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных делителей.

Решение

Количество делителей числа  n =   равно  (α₁ + 1)...(α_k + 1)  (см. задачу 60537 а). n делится на  30 = 2·3·5,  поэтому  k ≥ 3.  Но
(α₁ + 1)...(α_k + 1) = 30,  а 30 нельзя разложить больше, чем на три множителя, отличных от 1 (а на 3 множителя можно разложить единственным способом). Следовательно,  k = 3,  {α₁, α₂, α₃) = {1, 2, 4}.  Итак,  n = pq²r⁴,  где  (p, q, r)  – перестановка чисел  (2, 3, 5).

Ответ

720, 1200, 1620, 4050, 7500, 11250.

Замечания

баллы: 5

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1982
выпуск
Номер	5
Задача
Номер	М741
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1981/1982
Номер	3
вариант
Вариант	7-8 класс
Задача
Номер	1