ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97784
Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Многочлены (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Многочлен P(x) со старшим коэффициентом, равным 1, обладает тем свойством, что среди значений, принимаемых им при натуральных значениях аргумента, встречаются все числа вида 2m с натуральным m. Докажите, что этот многочлен – первой степени.


Решение

  Пусть степень многочлена P равна  n > 1.  Случай  P(x) = (x + m)n  (m натуральное) очевиден: этот многочлен не принимает значения 2. Для других многочленов достаточно доказать существование такого целого m, что при "больших x"  (x + m)n < P(x) < (x + m + 1)n     (*).
  Действительно, пусть (*) выполнено. Найдётся такое x0, что при  xx0  P строго возрастает. Пусть M – наибольшее значение P(x) на отрезке  [1, x0].  Возьмём такое k, что  2k > max {M, x0 + |m| + 1}.  Тогда  P(2k – m – 1) < 2kn < P(2k – m),  следовательно, P не принимает значения 2kn при натуральных значениях аргумента.
  Докажем (*). Обозначим через a коэффициент при xn–1.  Если a не делится нацело на n (например, не является целым), то очевидно,  m = [a/n].  Если же
a1 = nk,  то рассмотрим многочлен  Q(x) = P(x) – (x + k)n ≠ 0.  Степень многочлена Q меньше  n – 1.  Если старший коэффициент многочлена Q положителен, то  m = k,  если отрицателен, то  m = k – 1.

Замечания

баллы: 8

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1981/1982
Номер 3
вариант
Вариант 9-10 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .