Задача 97790

Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Подсчет двумя способами ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ] [ Раскладки и разбиения ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Кисиль В.В.

Докажите для каждого натурального числа  n > 1  равенство:   [n^1/2] + [n^1/3] + ... + [n^1/n] = [log₂n] + [log₃n] + ... + [log_nn].

Решение

  Добавим к обеим частям по n. Докажем, что в полученном равенстве обе части равны количеству пар  (k, m)  натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству  k^m ≤ n.
  Действительно, целая часть числа  a ≥ 1  равна количеству натуральных чисел, меньших или равных a. Поэтому
    [n^1/m] – количество пар  (k, m),  для которых  k^m ≤ n,
    [log_kn] – количество пар  (k, m),  для которых  k^m ≤ n.

Замечания

баллы: 15

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1982/1983
Номер	4
вариант
Вариант	9-10 класс
Задача
Номер	1
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1983
выпуск
Номер	5
Задача
Номер	М801