ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97790
Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
[ Раскладки и разбиения ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите для каждого натурального числа  n > 1  равенство:   [n1/2] + [n1/3] + ... + [n1/n] = [log2n] + [log3n] + ... + [lognn].


Решение

  Добавим к обеим частям по n. Докажем, что в полученном равенстве обе части равны количеству пар  (k, m)  натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству  km ≤ n.
  Действительно, целая часть числа  a ≥ 1  равна количеству натуральных чисел, меньших или равных a. Поэтому
    [n1/m] – количество пар  (k, m),  для которых  km ≤ n,
    [logkn] – количество пар  (k, m),  для которых  km ≤ n.

Замечания

баллы: 15

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1982/1983
Номер 4
вариант
Вариант 9-10 класс
Задача
Номер 1
журнал
Название "Квант"
год
Год 1983
выпуск
Номер 5
Задача
Номер М801

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .