Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача
97790
(#1)
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Докажите для каждого натурального числа n > 1 равенство: [n1/2] + [n1/3] + ... + [n1/n] = [log2n] + [log3n] + ... + [lognn].
Задача
97791
(#2)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Существует ли многогранник (не обязательно выпуклый), полных список рёбер
которого имеет вид: AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH
(на рисунке приведена схема соединения рёбер)?
Задача
97792
(#3)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9
|
На полосе бумаги написаны подряд 60 знаков: "×" и "0". Эту полоску разрезают на куски с симметричным расположением знаков. Например:
0, × ×, 0 × × × × 0, × 0 ×, ... .
а) Докажите, что существует такой способ разрезания, при котором кусков не больше 24.
б) Приведите пример такого расположения знаков, при котором меньше 15 кусков получить нельзя.
Задача
97793
(#4)
|
|
Сложность: 5+
Классы: 10,11
|
а) Из произвольной точки M внутри правильного n-угольника проведены перпендикуляры MK1, MK2, ..., MKn к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что 
(O – центр n-угольника).
б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки M
внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна 
где O – центр тетраэдра.
Задача
97794
(#5)
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
Марсианское метро на плане имеет вид замкнутой самопересекающейся линии,
причём в одной точке может происходить только одно самопересечение. (Линия нигде не касается сама себя.) Доказать, что тоннель с таким планом можно прорыть так, что поезд будет проходить попеременно под и над пересекающей линией.
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Фильтр
