ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97796
Темы:    [ Разрезания на параллелограммы ]
[ Топология (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Правильный 4k-угольник разрезан на параллелограммы. Доказать, что среди них не менее k прямоугольников. Найти их общую площадь, если длина стороны 4k-угольника равна a.


Решение

  Рассмотрим некоторую сторону многоугольника. Будем считать её вертикальной. Построим цепочку параллелограммов, в которой каждый следующий находится правее предыдущего и примыкает к нему по вертикальной стороне. Цепочка начинается на левой стороне многоугольника, а кончается на правой. Она обязана пересекаться с любой аналогичной цепочкой, соединяющей горизонтальные (верхнюю и нижнюю) стороны многоугольника. Общий элемент таких цепочек – прямоугольник. Каждой паре перпендикулярных направлений сторон многоугольника соответствует по крайней мере один такой прямоугольник.
  Далее можно считать, что параллелограммы примыкают друг к другу целыми сторонами (в противном случае можно произвести дополнительное разрезание – параллелограмм П режется на более мелкие, стороны которых параллельны сторонам П; в частности, все прямоугольники разрежутся на более мелкие и их суммарная площадь не изменится). Теперь каждой паре вертикальной и горизонтальной цепочек соответствует ровно один прямоугольник (поскольку по прямоугольнику цепочки однозначно восстанавливаются), и его площадь равна произведению отрезков сторон многоугольника, породивших эти цепочки.

  Поэтому общая площадь вертикально-горизонтальных прямоугольников равна a². То же верно для других пар перпендикулярных направлений сторон 4k-угольника.
  Всего получаем не менее k прямоугольников с суммой площадей ka².


Ответ

ka².

Замечания

1. 13 баллов.

2. Задача предлагалась также на 49-й Ленинградской математической олимпиаде (1983, 8 кл., зад. 5).

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1983
выпуск
Номер 8
Задача
Номер М820
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1982/1983
Номер 4
вариант
Вариант второй тур, 7-8 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .