ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97813
Темы:    [ Полуинварианты ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На шахматной доске N×N стоят N² шашек. Можно ли их переставить так, чтобы любые две шашки, отстоявшие на ход коня, после перестановки отстояли друг от друга лишь на ход короля (то есть стояли рядом)? Рассмотрите два случая:
  а)  N = 3;
  б)  N = 8.


Решение

  а) Требуемая перестановка изображена на рисунке.

  б) Введём два "расстояния" между клетками доски:  d1(a, b)  – наименьшее число ходов коня, необходимых для перехода из клетки a в клетку b,  d2(a, b)  – аналогичное число для ходов короля. Обозначим через a' и b' клетки, на которые попадают шашки из клеток a и b после перестановки. Тогда рассматриваемое в задаче условие, очевидно, влечёт неравенство  d1(a, b) ≥ d2(a', b').  Докажем, что это невозможно.
  Первый способ. Если a' и b' – противоположные угловые клетки, то  d2(a', b') = 7,  но для любых двух клеток a и b  d1(a, b) ≤ 6.  Чтобы в этом убедиться, достаточно проверить, что за три хода из любой клетки доски можно попасть в любую центральную клетку противоположного цвета, а за два хода – в одну из центральных клеток того же цвета).
  Второй способ. Количество клеток, отстояших от центральной клетки a на расстояние  d1 = 2,  как нетрудно проверить, равно 25. Но от клетки a' на расстояние  d2 ≤ 2  отстоят не более 24 клеток.


Ответ

а) Можно;  б) нельзя.

Замечания

1. Баллы: 2 + 12.

2. Более сложный случай  N = 4  разобран в решении задачи М863 из Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1983/1984
Номер 5
вариант
Вариант осенний тур, 7-8 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .