Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Положительные числа a, b, c, d таковы, что a ≤ b ≤ c ≤ d и a + b + c + d ≥ 1. Докажите, что a² + 3b² + 5c² + 7d² ≥ 1.
В ряд стоят 15 слонов, каждый из которых весит целое число килограммов. Если взять любого слона, кроме стоящего справа, и прибавить к его весу удвоенный вес его правого соседа, то получится 15 тонн (для каждого из 14 слонов). Найдите вес каждого из 15 слонов.
Таблица размером 2017×2017 заполнена ненулевыми цифрами. Среди 4034 чисел, десятичные записи которых совпадают со строками и столбцами этой таблицы, читаемыми слева направо и сверху вниз соответственно, все, кроме одного, делятся на простое число p, а оставшееся число на p не делится. Найдите все возможные значения p.
Каждый член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числу его суммы цифр. Первым членом последовательности является единица. Встретится ли в последовательности число 123456?
|
|
 |
Условие
Каждый член последовательности, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему числу его суммы цифр. Первым членом последовательности является единица. Встретится ли в последовательности число 123456?
Решение
Очевидно, что число и его сумма цифр дают одинаковые остатки при делении на 3. Поэтому последовательность остатков при делении на 3 имеет вид: 1, 2, 1, 2, ..., и в ней не встретится 0 (остаток от деления 123456 на 3).
Ответ
Не встретится.
Замечания
1. Задача предлагалась также на 51-й Ленинградской математической олимпиаде (1985, 6 кл., зад. 1).
2. 5 баллов.
