ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97890
Темы:    [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Связность и разложение на связные компоненты ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A1A2A3...An. Рассматриваются углы AiOAj при всевозможных парах  (i, j)  (i, j – различные натуральные числа от 1 до n). Докажите, что среди этих углов найдётся по крайней мере  n – 1  не острых (прямых, тупых или развёрнутых) углов.

б) То же для выпуклого многогранника, имеющего n вершин.


Решение 1

  Докажем более общее утверждение (верное в пространстве любой размерности).
        Пусть точка O принадлежит выпуклой оболочке точек A1, ..., An, не совпадая ни с одной из них. Тогда среди углов AiOAj не менее  n – 1  не острых.
  (Нулевой угол мы также считаем "не острым". Это не страшно, поскольку в условиях задачи такие углы не возникают.)

  Доказательство. Рассмотрим векторы  ai = .  Найдутся такие неотрицательные числа αi, не все равные нулю, что  α1a1 + ... + αnan = 0.  Это следует, например, из того, что O – центр масс точек Ai при некотором распределении масс.
  Пусть количество не острых углов меньше  n – 1.  Соединим пары точек, на которые опираются эти углы. Полученный граф несвязен (в связном графе с n вершинами не менее  n – 1  ребра). Отметим, что для вершин Ai, Aj, принадлежащих разным компонентам  (ai, aj) > 0  (угол AiOAj – острый).
  Рассмотрим ту из компонент связности, которая содержит вершину с ненулевым коэффициентом. С точностью до смены нумерации можно считать, что её вершины –  A1, ..., Am.

     (α1a1 + ... + αmam, an) = α1(a1, an) + ... + αm(am, an) > 0   ⇒   α1a1 + ... + αmam0   ⇒
     0 > – |α1a1 + ... + αmam|2 = (α1a1 + ... + αmam, αm+1am+1 + ... + αnan) ≥ 0

(после раскрытия скобок в правой части все слагаемые неотрицательны). Противоречие.


Решение 2

а) Разобьём многоугольник диагоналями, выходящими из одной вершины, на треугольники. O лежит в одном из них (пусть ABC). Тогда среди углов AOB, BOC, COA (их сумма равна 360°) два не острых. Для любой другой вершины D один из углов DOB, DOC, DOA не острый (иначе A, B, C и D лежат по одну сторону от прямой, проходящей через O, и перпендикулярной к DO, что невозможно).

Замечания

1. Решение 2 – авторское. Аналогично можно доказать и б) – разбиение на тетраэдры сводит задачу к случаю тетраэдра. Но (в отличие от треугольника в а)) чисто геометрическое доказательство этого факта для тетраэдра (наше утверждение для  n = 4)  достаточно сложно – см. решения Задачника "Кванта".

2. Баллы: 8 + 4.

3. Ср. с задачей М980 из Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 7
Дата 1985/1986
вариант
Вариант осенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .