ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97896
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Гомотетичные окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На стороне AB квадрата ABCD взята точка K, на стороне CD – точка L, на отрезке KL – точка M. Докажите, что вторая (отличная от M) точка пересечения окружностей, описанных около треугольников AKM и MLC, лежит на диагонали AC.


Решение

  Пусть точка M лежит внутри треугольника ACD. Обозначим через P вторую точку пересечения диагонали AC с описанной окружностью треугольника AKM. Тогда точки K и P лежат по одну сторону от прямой AM, значит,  ∠AKM = ∠APM  (как вписанные, опирающиеся на одну дугу). Точки P и L лежат по разные стороны от прямой CM, и  ∠MPC + ∠MLC = (180° – ∠APM) + ∠AKM = 180°.  Следовательно, четырёхугольник CLMP вписанный, то есть точка P лежит и на описанной окружности треугольника MLC.


  Случай, когда точка M лежит внутри треугольника ABC, разбирается с точностью до "наоборот".
  Если же точка M лежит на AC, то указанные описанные окружности касаются в точке M (то есть вторая точка пересечения отсутствует).
  Действительно, в этом случае гомотетия с центром M (и коэффициентом   – MC/MA) переводит треугольник AKM в треугольник CLM. Поэтому та же гомотетия переводит центр первой описанной окружности в центр второй. Следовательно, общая точка этих окружностей лежит на линии центров и, значит, являет точкой касания.

Замечания

1. Утверждение верно для любого четырёхугольника ABCD, у которого AB || CD.

2. Другой способ (использующий поворот) см. в решениях Задачника "Кванта".

3. 5 баллов.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
неизвестно
Номер задача 4842
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 7
Дата 1985/1986
вариант
Вариант весенний тур, 7-8 класс
Задача
Номер 4
журнал
Название "Квант"
год
Год 1986
выпуск
Номер 5
Задача
Номер М984

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .