|
Название задачи: Сизифов труд. |
 |
Условие
На горе 1001 ступенька, на некоторых лежат камни, по одному на ступеньке. Сизиф берёт любой камень и переносит его на ближайшую сверху свободную ступеньку (то есть, если следующая ступенька свободна то на неё, а если занята, то на несколько ступенек вверх до первой свободной). После этого Аид скатывает на одну ступеньку вниз один из камней, у которых предыдущая ступенька свободна. Камней 500, и первоначально они лежали на нижних 500 ступеньках. Сизиф и Аид действуют по очереди, начинает Сизиф. Его цель – положить камень на верхнюю ступеньку. Может ли Аид ему помешать?
Решение
Докажем, что Аид может действовать так, что после каждого его хода нижняя ступенька занята и нет двух свободных ступенек подряд. Действительно, если в такой позиции Сизиф снимает камень с n-й ступеньки, то после его хода (n+1)-я ступенька занята. Скатив с неё камень, Аид, очевидно, приходит в позицию с указанными выше свойствами.
Но в любой такой позиции верхний камень лежит не выше 999-й ступеньки, следовательно, Сизиф никогда не поднимет камень выше 1000-й ступеньки.
Ответ
Может.
Замечания
1. 8 баллов.
2. См. также задачей М1008 из Задачника "Кванта".
