ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97905
Темы:    [ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана невозрастающая последовательность неотрицательных чисел  a1a2a3 ≥ ... ≥ a2k+1 ≥ 0.
Докажите неравенство:  


Решение

  Рассмотрим трапецию, ограниченную прямыми  x = a2kx = a2k–1y = 0,  y = 2x  (см. рисунок).

  Её площадь равна  ,  следовательно, выражение в левой части неравенства равно сумме площадей всех трапеций и треугодьника, в который вырождается последняя трапеция. Сдвинув все трапеции влево до упора, мы получим ступенчатую фигуру, содержащую треугольник (ограниченный прямыми  x = a1a2 + a3a4 + ... + a2k+1y = 0,  y = 2x),  площадь которого равна выражению в правой части (см. рисунок).

Замечания

1. 8 баллов.

2. Ср. с задачей М1011 из Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 7
Дата 1985/1986
вариант
Вариант весенний тур, 9-10 класс
Задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .