ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 97910
Темы:    [ Производящие функции ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Анджанс А.

Берутся всевозможные непустые подмножества из множества чисел   1, 2, 3, ..., n.  Для каждого подмножества берётся величина, обратная к произведению всех его чисел. Найти сумму всех таких обратных величин.


Решение

Искомая сумма получится после раскрытия скобок в выражении  (1 + 1/1)(1 + ½)(1 + ⅓)...(1 + 1/n) – 1,  то есть равна  2/1·3/2·4/3·...·n+1/n – 1 = n + 1 – 1 = n.


Ответ

n.

Замечания

1. Равенство  Sn = n  можно также доказать по индукции, заметив, что  

2. 4 балла.

3. Ср. с задачей М1032 из Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1986/1987
Номер 8
вариант
Вариант осенний тур, 7-8 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .