Фильтр
Выбрано 5 задач Убрать все задачи
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC
угол при вершине A равен 80°. Внутри треугольника ABC
взята точка M так, что
∠MBC = 30° и ∠MCB = 10°. Найдите величину угла AMC.
РешениеПри помощи формулы Лежандра (см. задачу 60553) докажите, что число целое.
Решение а) Пусть {a1, a2,..., an} – последовательность целых чисел, сумма которых равна 1. Докажите, что ровно у одного из ее циклических сдвигов
{a1, a2, ..., an}, {a2, ..., an, a1}, ..., {an, a1, ..., an–1} все частичные суммы (от начала до произвольного элемента) положительны.
б) Выведите отсюда равенства: где (4n – 2)!!!! = 2·6·10·...(4n – 2) – произведение, в котором участвует каждое четвёртое число.
Определение чисел Каталана Cn смотри в
справочнике.
РешениеПусть – производящая функция последовательности чисел Каталана. Докажите, что она удовлетворяет равенству
Определение чисел Каталана можно найти в справочнике.
РешениеВыведите формулу для чисел Каталана, воспользовавшись результатом задачи 61519 и равенством где
– обобщенные биномиальные коэффициенты.
Определение чисел Каталана можно найти в справочнике.
Решение
Задачи
Задача 61507[Производящие функции многочленов Чебышева] |
|
|
Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:
|
|
Решение |
Задача 97910 |
|
|
Берутся всевозможные непустые подмножества из множества чисел 1, 2, 3, ..., n. Для каждого подмножества берётся величина, обратная к произведению всех его чисел. Найти сумму всех таких обратных величин.
|
|
|
Решение |
Задача 61493 |
|
|
Пусть an – число решений уравнения x1 + ... + xk = n в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности an.
а) Докажите равенства: F(x) = (1 + x + x² + ...)k = (1 – x)–k.
б) Найдите формулу для an, пользуясь
задачей 61490.
|
|
|
Решение |
Задача 61504 |
|
|
а) Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка (определение чисел Люка смотри в задаче 60585)
б) Пользуясь этой функцией, выразите Ln через φ и
(см. задачу 61502).
|
|
|
Решение |
Задача 61506[Производящие функции многочленов Фибоначчи и Люка] |
|
|
Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи F(x, z) = F0(x) + F1(x)z + F2(x)z² + ... + Fn(x)zn + ...
и последовательности многочленов Люка
L(x, z) = L0(x) + L1(x)z + L2(x)z² + ... + Ln(x)zn + ...
Определения многочленов Фибоначчи и Люка можно найти в
справочнике.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]
