ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      



Задача 61498

Темы:   [ Производящие функции ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть N – количество счастливых билетов. Докажите равенства:
  а)  (1 + x + ... + x9)3(1 + x–1 + ... + x–9)3 = x27 + ... + a1x + N + a1x + ... + x–27;
  б)  (1 + x + ... + x9)6 = 1 + ... + Nx27 + ... + x54.
  в) Найдите число счастливых билетов.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61502

Темы:   [ Производящие функции ]
[ Числа Фибоначчи ]
[ Рациональные функции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи   F(x) = F0 + F1x + F2x² + ... + Fnxn + ...

может быть записана в виде     где   = = .

б) Пользуясь результатом задачи 61490, получите формулу Бине (см. задачу 60578.

Прислать комментарий     Решение

Задача 76536

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Производящие функции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Определить коэффициенты, которые будут стоять при x17 и x18 после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении

(1 + x5 + x7)20.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98380

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Производящие функции ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

а) Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел, складываем. Сколько получится?
б) Тот же вопрос для четырёхзначных чисел.
Прислать комментарий     Решение


Задача 61497

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Производящие функции ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:
а)     б)  

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .