ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76536
Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Производящие функции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Определить коэффициенты, которые будут стоять при x17 и x18 после раскрытия скобок и приведения подобных членов в выражении

(1 + x5 + x7)20.


Решение

Число 18 нельзя представить в виде суммы чисел 5 и 7, поэтому коэффициент при x18 будет равен нулю. Число 17 представляется в виде суммы чисел 5 и 7 следующим образом:  17 = 7 + 5 + 5;  с точностью до перестановки слагаемых это представление единственно. В одном из 20 множителей  1 + x5 + x7  мы должны выбрать x7, а в двух из 19 оставшихся   x5. Поэтому коэффициент при x17 равен 20·19·18 : 2 = 3420.


Ответ

3420 и 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 10
Год 1947
вариант
Класс 7,8
Тур 1
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .