ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]      



Задача 61519

Темы:   [ Числа Каталана ]
[ Производящие функции ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Пусть     – производящая функция последовательности чисел Каталана. Докажите, что она удовлетворяет равенству

C(x) = xC²(x) + 1,
и получите явный вид функции C(x).
Определение чисел Каталана можно найти в справочнике.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61526

Темы:   [ Раскладки и разбиения ]
[ Многочлены Гаусса ]
[ Производящие функции ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

  Пусть fk,l(x) – производящая функция последовательности Pk,l(n) из задачи 61525:   fk,l(x) = Pk,l(0) + xPk,l(1) + ... + xklPk,l(kl).

  а) Докажите равенства:  fk,l(x) = fk–1,l(x) + xkfk,l–1(x) = fk,l–1(x) + xlfk–1,l(x).

  б) Докажите, что функции fk,l(x) совпадают с многочленами Гаусса gk,l(x) (определение многочленов Гаусса смотри здесь).

Прислать комментарий     Решение

Задача 115364

Темы:   [ Раскладки и разбиения ]
[ Замощения костями домино и плитками ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Производящие функции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Храмцов Д.

Назовём лестницей высоты n фигуру, состоящую из всех клеток квадрата n×n, лежащих не выше диагонали (на рисунке показана лестница высоты 4). Сколькими различными способами можно разбить лестницу высоты n на несколько прямоугольников, стороны которых идут по линиям сетки, а площади попарно различны?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65210

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Двоичная система счисления ]
[ Производящие функции ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

День в Анчурии может быть либо ясным, когда весь день солнце, либо дождливым, когда весь день льет дождь. И если сегодня день не такой, как вчера, то анчурийцы говорят, что сегодня погода изменилась. Однажды анчурийские ученые установили, что 1 января день всегда ясный, а каждый следующий день в январе будет ясным, только если ровно год назад в этот день погода изменилась. В 2015 году январь в Анчурии был весьма разнообразным: то солнце, то дожди. В каком году погода в январе впервые будет меняться ровно так же, как в январе 2015 года?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61474

Темы:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Дискретное распределение ]
[ Производящие функции ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Лягушка прыгает по вершинам шестиугольника ABCDEF, каждый раз перемещаясь в одну из соседних вершин.
  а) Сколькими способами она может попасть из A в C за n прыжков?
  б) Тот же вопрос, но при условии, что ей нельзя прыгать в D?
Лягушка-сапер.
  в) Пусть путь лягушки начинается в вершине A, а в вершине D находится мина. Каждую секунду она делает очередной прыжок. Какова вероятность того, что она еще будет жива через n секунд?
  г)* Какова средняя продолжительность жизни таких лягушек?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .