Задача 61519

Темы:    [ Числа Каталана ] [ Производящие функции ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Пусть     – производящая функция последовательности чисел Каталана. Докажите, что она удовлетворяет равенству

C(x) = xC²(x) + 1,

и получите явный вид функции C(x).
Определение чисел Каталана можно найти в справочнике.

Подсказка

Воспользуйтесь равенством из задачи 60452 и тем, что коэффициент при x^n–1 у функции C²(x) совпадает с правой частью этого равенства.

Решение

Коэффициент при xⁿ у функции  C²(x) = (C₀ + C₁x + C₂x² + ...)(C₀ + C₁x + C₂x² + ...)  равен  C₀C_n + C₁C_n–1 + ... + C_nC₀ = C_n+1  (см. задачу 60452). Следовательно,  C(x) = C₀ + xC²(x) = 1 + xC²(x).  Отсюда      (Знак перед радикалом выбирается из условия  C(0) = C₀ = 1.)

Ответ

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	3
Название	Производящие функции
Тема	Производящие функции
задача
Номер	11.092