ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61519
Темы:    [ Числа Каталана ]
[ Производящие функции ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть     – производящая функция последовательности чисел Каталана. Докажите, что она удовлетворяет равенству

C(x) = xC²(x) + 1,
и получите явный вид функции C(x).
Определение чисел Каталана можно найти в справочнике.


Подсказка

Воспользуйтесь равенством из задачи 60452 и тем, что коэффициент при xn–1 у функции C²(x) совпадает с правой частью этого равенства.


Решение

Коэффициент при xn у функции  C²(x) = (C0 + C1x + C2x² + ...)(C0 + C1x + C2x² + ...)  равен  C0Cn + C0Cn–1 + ... + CnC0 = Cn+1  (см. задачу 60452). Следовательно,  C(x) = C0 + xC²(x) = 1 + xC²(x).  Отсюда      (Знак перед радикалом выбирается из условия  C(0) = C0 = 1.)


Ответ

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 11
Название Последовательности и ряды
Тема Последовательности
параграф
Номер 3
Название Производящие функции
Тема Производящие функции
задача
Номер 11.092

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .