Задача 98380

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Производящие функции ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

а) Для каждого трёхзначного числа берём произведение его цифр, а затем эти произведения, вычисленные для всех трёхзначных чисел, складываем. Сколько получится?
б) Тот же вопрос для четырёхзначных чисел.

Решение

  а)   (1 + 2 + ... + 9)(0 + 1 + ... + 9)(0 + 1 + ... + 9) = 45³,   так как сумма в каждой скобке равна 45. С другой стороны, если в левой части раскрыть скобки, то в полученной сумме встретятся по одному разу произведения, соответствующие всем трёхзначным числам (например произведение 2·5·7, соответствующее числу 257, получится, когда мы из первой скобки возьмём двойку, из второй – пятерку, а из третьей – семерку).

  б) Решается аналогично.

Ответ

а)  45³;   б)  45⁴.

Замечания

Пункт а) давался на Турнире городов для младших классов (4 балла) и на Математической регате, пункт б) – на Турнире городов для старших классов (3 балла).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1997/1998
Номер	19
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	4
олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2010/11
Класс
	1
Класс	7
задача
Номер	7.4.1
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1997/1998
Номер	19
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2