Задача 61502

Темы:    [ Производящие функции ] [ Числа Фибоначчи ] [ Рациональные функции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи   F(x) = F₀ + F₁x + F₂x² + ... + F_nxⁿ + ...

может быть записана в виде     где   = ,  = .

б) Пользуясь результатом задачи 61490, получите формулу Бине (см. задачу 60578.

Решение

а) Из равенства  F_n = F_n–1 + F_n–2  получаем  F(x) = F₀ + (F₁ – F₀)x + x²F(x) = x + x²F(x),  откуда  
Осталось заметить, что φ и    – корни уравнения  x² – x – 1 = 0,  то есть  

б)  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	3
Название	Производящие функции
Тема	Производящие функции
задача
Номер	11.075