ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61502
Темы:    [ Производящие функции ]
[ Числа Фибоначчи ]
[ Рациональные функции ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи   F(x) = F0 + F1x + F2x² + ... + Fnxn + ...

может быть записана в виде     где   = = .

б) Пользуясь результатом задачи 61490, получите формулу Бине (см. задачу 60578.


Решение

а) Из равенства  Fn = Fn–1 + Fn–2  получаем  F(x) = F0 + (F1F0)x + x²F(x) = x + x²F(x),  откуда  
Осталось заметить, что φ и    – корни уравнения  x² – x – 1 = 0,  то есть  

б)  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 11
Название Последовательности и ряды
Тема Последовательности
параграф
Номер 3
Название Производящие функции
Тема Производящие функции
задача
Номер 11.075

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .