ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61493
Темы:    [ Производящие функции ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть an – число решений уравнения  x1 + ... + xk = n   в целых неотрицательных числах и F(x) – производящая функция последовательности an.
  а) Докажите равенства:  F(x) = (1 + x + x² + ...)k = (1 – x)k.
  б) Найдите формулу для an, пользуясь задачей 61490.


Решение

  а) Пусть bn – число решений уравнения  x1 + ... + xk+1 = n  в целых неотрицательных числах. Из каждого такого решения  (x1, ..., xk+1)  можно получить решение  (x1, ..., xk+1 + 1)  уравнения  x1 + ... + xk+1 = n + 1   (*).
  Кроме этого, уравнение (*) имеет еще an+1 решений вида  (x1, ..., xk, 0).  Следовательно,  bn+1bn = an+1.
  Обозначим производящую функцию из условия через Fk(x). Мы фактически доказали, что  (1 – x)Fk+1(x) = Fk(x).  Поскольку, очевидно,
F1(x) = 1 + x + x² + ... = (1 – x)–1,  то  Fk(x) = (1 – x)k.

   б) Легко видеть, что     Отсюда  

Замечания

См. также задачу 30719 б).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 11
Название Последовательности и ряды
Тема Последовательности
параграф
Номер 3
Название Производящие функции
Тема Производящие функции
задача
Номер 11.067
книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 11
Название Последовательности и ряды
Тема Последовательности
параграф
Номер 3
Название Производящие функции
Тема Производящие функции
задача
Номер 11.066

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .