Задача 61506

Темы:    [ Производящие функции ] [ Специальные многочлены (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11 Название задачи: Производящие функции многочленов Фибоначчи и Люка.

Условие

Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи  F(x, z) = F₀(x) + F₁(x)z + F₂(x)z² + ... + F_n(x)zⁿ + ...
и последовательности многочленов Люка   L(x, z) = L₀(x) + L₁(x)z + L₂(x)z² + ... + L_n(x)zⁿ + ...
Определения многочленов Фибоначчи и Люка можно найти в справочнике.

Подсказка

   Из равенств  F₀(x) = 0,  F₁(x) = 1,  F_n(x) = xF_n–1(x) + F_n–2(x)  получаем  F(x, z) = z + (xz + z²)F(x, z). 
   Производящую функцию последовательности многочленов Люка можно получить аналогично или воспользоваться соотношением
L_n(x) = F_n–1(x) + F_n+1(x)  (см. задачу 61468 а).

Ответ

F(x, z) = z(1 – xz – z²)^–1,   L(x, z) = (2 – xz)(1 – xz – z²)^–1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	3
Название	Производящие функции
Тема	Производящие функции
задача
Номер	11.079