ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61506
Темы:    [ Производящие функции ]
[ Специальные многочлены (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
Название задачи: Производящие функции многочленов Фибоначчи и Люка.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи  F(x, z) = F0(x) + F1(x)z + F2(x)z² + ... + Fn(x)zn + ...
и последовательности многочленов Люка   L(x, z) = L0(x) + L1(x)z + L2(x)z² + ... + Ln(x)zn + ...
Определения многочленов Фибоначчи и Люка можно найти в справочнике.


Подсказка

   Из равенств  F0(x) = 0,  F1(x) = 1,  Fn(x) = xFn–1(x) + Fn–2(x)  получаем  F(x, z) = z + (xz + z²)F(x, z). 
   Производящую функцию последовательности многочленов Люка можно получить аналогично или воспользоваться соотношением
Ln(x) = Fn–1(x) + Fn+1(x)  (см. задачу 61468 а).


Ответ

F(x, z) = z(1 – xz – z²)–1,   L(x, z) = (2 – xz)(1 – xz – z²)–1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 11
Название Последовательности и ряды
Тема Последовательности
параграф
Номер 3
Название Производящие функции
Тема Производящие функции
задача
Номер 11.079

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .