Задача 61504

Темы:    [ Производящие функции ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

а) Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка (определение чисел Люка смотри в задаче 60585)

б) Пользуясь этой функцией, выразите L_n через φ и (см. задачу 61502).

Решение

  а) Согласно задаче 60498 производящая функция F(x) последовательности чисел Фибоначчи равна    
Согласно задаче 60585 а)  L_n = F_n+1 + F_n–1,  значит,

     

  б) Заметим, что     Поэтому

       

Ответ

а)  L(x) = (2 – x)(1 – x – x²)^–1;   б)  L_n = φⁿ + ⁿ.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	3
Название	Производящие функции
Тема	Производящие функции
задача
Номер	11.077