Задача 97921
|
|
 |
Условие
Докажите, что при любом a имеет место неравенство: 3(1 + a² + a4) ≥ (1 + a + a²)².
Решение 1
1 + a² + a4 = (1 + a²)² – a². Поэтому неравенство можно сократить на 1 + a + a² > 0. Получаем 3(1 – a + a²) ≥ 1 + a + a² ⇔ (a – 1)² ≥ 0.
Решение 2
2(1 + a + a²) ≤ 2(1 + a²) + (1 + a²), поэтому
4(1 + a + a²) ≤ (3(1 + a²))² = 9(1 + 2a² + a4) = 9(1 + a² + a4) + 9a² ≤ 9(1 + a² + a4) + 3(1 + a4) + 3a² = 12(1 + a² + a4).
Решение 3
Раскрыв скобки, приведём неравенство к виду 2(a³ – 1)(a – 1) ≥ 0.
Решение 4
Записав неравенство в виде видим, что это частный случай неравенства между средним квадратичным и средним арифметическим.
Замечания
2 балла
