Основание пирамиды - ромб с острым углом в 30^o. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 60^o. Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен r.

   Решение

Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько попарно непересекающихся кругов различных радиусов. Докажите, что многоугольник можно разрезать на маленькие многоугольники так, чтобы все они были выпуклыми и в каждом из них содержался ровно один из данных кругов.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и разность двух других сторон.

   Решение

Какое из чисел больше: 31¹¹ или 17¹⁴?

   Решение

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Имеется много кубиков одинакового размера, раскрашенных в шесть цветов. При этом каждый кубик раскрашен во все шесть цветов, каждая грань – в какой-нибудь один свой цвет, но расположение цветов на разных кубиках может быть различным. Кубики выложены на стол, так что получился прямоугольник. Разрешается взять любой столбец этого прямоугольника, повернуть его вокруг длинной оси и положить на место. То же самое разрешается делать и со строками. Всегда ли можно с помощью таких операций добиться того, что все кубики будут смотреть вверх гранями одного и того же цвета?

Решение 1

Пусть φ – поворот на 90° некоторой строки, ψ – некоторого столбца. Коммутаторы φψφ^–1ψ^–1 и ψφψ^–1φ^–1 поворачивают только кубик, лежащий в их пересечении, возвращая все остальные кубики в исходное положение. Теперь ясно, как каждый кубик поворачивать произвольно, независимо от остальных.

Решение 2

  Пусть первые m строк и первые n кубиков (m+1)-й строки уже повёрнуты чёрной гранью вверх. Покажем, как повернуть (n+1)-й кубик A этой строки, не испортив предыдущих "достижений".
  Повернём первые m строк чёрной гранью назад (теперь никакие действия со столбцами не изменят этого состояния). Повернём первые n столбцов так, чтобы чёрные грани первых n кубиков (m+1)-й строки оказались слева. Теперь (поворотами строки и столбца) повернём кубик A чёрной гранью вверх. Вернём первые n столбцов, а затем первые m строк в исходное состояние.

Ответ

Всегда.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования