ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56727
Тема:    [ Радикальная ось ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько попарно непересекающихся кругов различных радиусов. Докажите, что многоугольник можно разрезать на маленькие многоугольники так, чтобы все они были выпуклыми и в каждом из них содержался ровно один из данных кругов.

Решение

Обозначим данные окружности через  S1,..., Sn. Для каждой окружности Si рассмотрим множество Mi, состоящее из тех точек X, для которых степень относительно Si не больше степеней относительно  S1,..., Sn. Тогда Mi — выпуклое множество. В самом деле, пусть Mij — множество точек X, для которых степень относительно Si не больше степени относительно SjMij является полуплоскостью, состоящей из точек, лежащих по одну сторону с окружностью Si от радикальной оси окружностей Si и Sj. Множество Mi является пересечением выпуклых множеств Mij, поэтому оно само выпуклое. Кроме того, поскольку каждое из множеств Mij содержит окружность Si, то Mi содержит Si. Так как для каждой точки плоскости какая-то из степеней относительно  S1,..., Sn является наименьшей, множества Mi покрывают всю плоскость. Рассматривая те части множеств Mi, которые лежат внутри исходного многоугольника, получаем требуемое разбиение.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 3
Название Окружности
Тема Окружности
параграф
Номер 10
Название Радикальная ось
Тема Радикальная ось
задача
Номер 03.064

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .