Задача 56727

Тема:    [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько попарно непересекающихся кругов различных радиусов. Докажите, что многоугольник можно разрезать на маленькие многоугольники так, чтобы все они были выпуклыми и в каждом из них содержался ровно один из данных кругов.

Решение

Обозначим данные окружности через  S₁,..., S_n. Для каждой окружности S_i рассмотрим множество M_i, состоящее из тех точек X, для которых степень относительно S_i не больше степеней относительно  S₁,..., S_n. Тогда M_i — выпуклое множество. В самом деле, пусть M_ij — множество точек X, для которых степень относительно S_i не больше степени относительно S_j. M_ij является полуплоскостью, состоящей из точек, лежащих по одну сторону с окружностью S_i от радикальной оси окружностей S_i и S_j. Множество M_i является пересечением выпуклых множеств M_ij, поэтому оно само выпуклое. Кроме того, поскольку каждое из множеств M_ij содержит окружность S_i, то M_i содержит S_i. Так как для каждой точки плоскости какая-то из степеней относительно  S₁,..., S_n является наименьшей, множества M_i покрывают всю плоскость. Рассматривая те части множеств M_i, которые лежат внутри исходного многоугольника, получаем требуемое разбиение.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	3
Название	Окружности
Тема	Окружности
параграф
Номер	10
Название	Радикальная ось
Тема	Радикальная ось
задача
Номер	03.064