Задача 97986

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Арифметические действия. Числовые тождества ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Существует ли такое натуральное число M, что никакое натуральное число, десятичная запись которого состоит лишь из нулей и не более чем 1988 единиц, не делится на M?

Решение

Рассмотрим  M = 9...9  (221 девятка). При делении числа вида 10...0 на M получим в остатке 10...0, в котором число нулей не больше 220. При делении на M числа с 1988 (или меньшим) числом единиц, получим сумму не более 1988 степеней десятки. Если какая-то степень 10ⁿ встретилась больше 10 раз, заменим десять таких остатков на 10ⁿ⁺¹ (а 10 остатков 10²⁰⁰ – на 1). После совершения всех таких замен получим в качестве остатка 221-значное число с суммой цифр, не большей 1988. Это число меньше M, поскольку сумма цифр M равна  9·221 = 1989.

Ответ

Существует.

Замечания

Баллы: 7-8 кл. – 8, 9-10 кл. – 7.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1988/1989
Номер	10
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 9-10 класс
Задача
Номер	5
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1988/1989
Номер	10
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 7-8 класс
Задача
Номер	6