Задача 97987

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 3 и 9 ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Фольклор

Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?

Решение

Два числа, отличающиеся лишь порядком цифр, дают одинаковые остатки при делении на 9. Но последовательность остатков от деления 2ⁿ на 9 –  2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, ...  – периодична с периодом 6. Поэтому две степени двойки с одинаковыми остатками отличаются не менее чем в  2⁶ = 64  раза, то есть в них разное число цифр.

Ответ

Не существует.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	5
Название	Признаки делимости
Тема	Признаки делимости (прочее)
задача
Номер	04.181
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	34
Год	1971
вариант
Класс	9
Тур	1
задача
Номер	4
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	10
Дата	1988/1989
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 9-10 класс
Задача
Номер	1