Задача 98037

Темы:    [ Площади криволинейных фигур ] [ Вычисление площадей ] [ Вычисление производной ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Автор: Фольклор

Внутри круга радиуса R взята точка A. Через неё проведены две перпендикулярные прямые. Потом прямые повернули на угол φ относительно точки A. Хорды, высекаемые окружностью из этих прямых, замели при повороте фигуру, имеющую форму креста с центром в точке A. Найдите площадь креста.

Решение

Зафиксируем перпендикулярные хорды BC и DE, проходящие через точку A, а хорды KL и MN будем поворачивать, увеличивая угол φ. Пусть S(φ) – интересующая нас площадь. При увеличении φ на малый угол δ площадь s(φ) криволинейного треугольника BAK увеличится на площадь криволинейного треугольника KAP (см. рисунок).

Последняя отличается от площади ½ AK²δ сектора KAT радиуса AK с центром в точке A и углом δ на площадь криволинейного треугольника KPT, стороны которого не превышают 2Rδ. Следовательно,  S_KPT < 4R²δ²  и производная     Значит, производная
S′(φ) = ½ (AK² + AL² + AM² + AN²) = 2R²  (см. задачу 56614). Так как  S(0) = 0,  то  S(φ) = 2R²φ.

Ответ

2φR².

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1989/1990
Номер	11
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	3