Задача 98077
|
|
 |
Условие
Рассматривается конечное множество M единичных квадратов на плоскости. Их стороны параллельны осям координат (разрешается, чтобы квадраты пересекались). Известно, что для любой пары квадратов расстояние между их центрами не больше 2. Докажите, что существует единичный квадрат (не обязательно из множества M) со сторонами, параллельными осям, пересекающийся хотя бы по точке с каждым квадратом множества M.
Решение
Проведём ось абсцисс через самый нижний, а ось ординат – через самый левый центр квадрата. Тогда центры всех квадратов находятся в квадрате
[0, 2] × [0, 2]. Ясно, что квадрат с центром в точке (1, 1) пересекается со всеми.
Замечания
4 балла
