Задача 98093
|
|
 |
Условие
На доске выписаны числа 1, ½, ⅓, ..., 1/100. Выбираем из написанных на доске два произвольных числа a и b, стираем их и пишем на доску число
a + b + ab. Такую операцию проделываем 99 раз, пока не останется одно число. Какое это число? Найдите его и докажите, что оно не зависит от последовательности выбора чисел.
Решение
Если a1, a2, ..., an – числа, написанные на доске, то величина (1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) не изменяется при допустимой операции. Действительно, если a и b заменяются на a + b + ab, то множители, не содержащие a и b, не изменяются, а произведение (1 + a)(1 + b) заменяется на равное ему число1 + a + b + ab. Значит, последнее число на доске равно (1 + 1/1)(1 + ½)...(1 + 1/100) – 1 = 2/1·3/2·...·101/100 – 1 = 101 – 1 = 100.
Ответ
100.
Замечания
4 балла
