Задача 98107

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Простые числа и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Васильев Н.Б.

Можно ли в таблицу 4×4 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
  3) среди чисел нет равных;
  4) все числа не больше 100?

Решение

Рассмотрим греко-латинский квадрат (таблица слева). В нём каждая буква встречается в каждой строке и каждом столбце ровно один раз, и все 64 пары букв в клетках – разные.

Подставив вместо этих восьми букв взаимно простые числа и вычислив соответствующие произведения в клетках, получим таблицу, удовлетворяющую первым трём условиям. А если  A = a = 1,  B = 2,  C = 3,  D = 5;  b = 7,  c = 11,  d = 13,  то и четвёртое условие выполнено (см. таблицу справа).

Ответ

Можно.

Замечания

1. 8 баллов

2. Ср. с задачей 98118.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1991/1992
Номер	13
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	3
web-сайт
задача