|
|
 |
Условие
Можно ли в таблицу 9×9 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
3) среди чисел нет равных;
4) все числа не больше 1991?
Решение
Как и в задаче 98107, построим греко-латинский квадрат 9×9 (см. рис.). В нём:
1) каждая клетка содержит по одной латинской и по одной греческой букве;
2) в каждой строке и в каждом столбце все буквы различны;
3) в каждых двух разных клетках пары букв различны.
Поставим в соответствие выбранным буквам восемнадцать попарно различных попарно взаимно простых чисел и запишем в таблице вместо пары букв произведение соответствующих чисел. Произведение всех чисел каждого столбца и каждой строки будет равно произведению всех восемнадцати чисел. Если взять, например, a = 1, b = 2, c = 3, d = 5, e = 7, f = 11, g = 13, h = 17, i = 19, α = 23, β = 29, γ = 31, δ = 37, ε = 41, ζ = 43, η = 47, θ = 53, ι = 59, то все числа в таблице будут различны, а максимальное число iι = 19·59 = 1121.
Ответ
Можно.
Замечания
1. Максимальное число можно сильно уменьшить. Например, если взять a = α = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e = 5, f = 6, g = 7, h = 8, i = 9, β = 10, γ = 11,
δ = 13, ε = 17, ζ = 19, η = 21, θ = 23, ι = 29, то максимальное число будет равно 9·29 = 261 (а числа в таблице останутся разными).
2. В отличие от задачи 98107 греко-латинский квадрат здесь построить просто: каждая следующая "латинская" строка получается из предыдущей циклическим сдвигом на единицу влево, а каждая "греческая" – сдвигом на единицу вправо.
3. 8 баллов.
