Задача 98113

Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Толпыго А.К.

В лес за грибами пошли 11 девочек и n мальчиков. Вместе они собрали  n² + 9n – 2  гриба, причём все они собрали поровну грибов.
Кого было больше: мальчиков или девочек?

Решение

Из условия следует, что  n² + 9n – 2  делится на  n + 11.  Значит, на  n + 11  делится также число  (n² + 9n – 2) – (n – 2)(n + 11) = 20,  откуда следует, что
n + 11 ≤ 20,  то есть  n ≤ 9.  Итак, мальчиков было не больше 9, то есть меньше, чем девочек.

Ответ

Девочек.

Замечания

1. Очевидно,  n = 9.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	14
Дата	1991
задача
Номер	06
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1991/1992
Номер	13
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	2