Задача 98129

Темы:    [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ] [ Иррациональные неравенства ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Курляндчик Л.Д., Сендеров В.А.

Пусть m, n и k – натуральные числа, причём  m > n.  Какое из двух чисел больше:

    или  

(В каждом выражении k знаков квадратного корня, m и n чередуются.)

Решение

  Обозначим эти числа x_k и y_k. Докажем по индукции, что  0 < x_k – y_k < m – n.  База очевидна.
  Шаг индукции.     По предположению индукции  

Ответ

Первое число больше.

Замечания

1. 6 баллов.

2. См. также Задачник «Кванта», задача М1341.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1991/1992
Номер	13
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	3