Условие
В квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник
вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата).
Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не
менее чем 499 из этих треугольников.
Решение
Пусть вершины K, L, M треугольника KLM лежат на сторонах AD, AB, BC квадрата ABCD и S – середина KM. Точки A и S лежат на окружности с диаметром KL, поэтому ∠LAS = ∠LKS = 60°. Аналогично ∠LBS = 60°, следовательно, S – вершина правильного треугольника, построенного на стороне AB.
Итак, на границе любого вписанного в квадрат правильного треугольника лежит одна из четырёх точек, являющихся вершинами правильных треугольников, построенных на сторонах квадрата. Так как 1993 > 4·498, то одна из этих точек принадлежит не менее чем 499 треугольникам.
Замечания
5 баллов
