Из натурального числа вычли сумму его цифр, из полученного числа снова вычли сумму его (полученного числа) цифр и т.д. После одиннадцати таких вычитаний получился нуль. С какого числа начинали?

   Решение

Темы:    [ Монотонность, ограниченность ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Функция  f(x) на отрезке [a, b] равна максимуму из нескольких функций вида y = C·10^–|x–d| (с различными d и C, причём все C положительны). Дано, что
f(a) = f(b). Докажите, что сумма длин участков, на которых функция возрастает, равна сумме длин участков, на которых функция убывает.

Решение

  Участки возрастания и убывания функции  f(x) совпадают с участками возрастания и убывания функции     где функции  g_i(x) имеют вид  b_i – |x – d_i|.
  Рассмотрим какой-то участок  [u, v]  возрастания функции g, на котором она совпадает с одной из функций g_i. Ясно, что длина этого участка равна
g(v) – g(u),  то есть возрастанию на нём значения функции g. Аналогична ситуация с участками убывания.
  Таким образом, разность указанных в условии сумм длин равна изменению значения функции g на отрезке  [a, b],  а оно по условию равно нулю.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования