Задача 98193

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Гервер М.Л.

Через S(n) обозначим сумму цифр числа n (в десятичной записи).
Существуют ли три таких различных натуральных числа m, n и p, что   m + S(m) = n+S(n) = p + S(p)?

Решение

Вот одна из таких троек:
m = 9999999999999,  S(m) = 117;   n = 10000000000098,  S(n) = 18;   p = 10000000000107,  S(p) = 9.
Для этих чисел  m + S(m) = n + S(n) = p + S(p) = 10000000000116.

Ответ

Существуют.

Замечания

1. 6 баллов.

2. Идею решения и обобщение задачи см. в решениях Задачника Кванта.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	15
Дата	1993/1994
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	5
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1994
выпуск
Номер	2
Задача
Номер	М1426