Задача 98219

Темы:    [ Инварианты ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Условие

Автор: Толпыго А.К.

10 фишек стоят на столе по кругу. Сверху фишки красные, снизу – синие. Разрешены две операции:
  а) перевернуть четыре фишки, стоящие подряд;
  б) перевернуть четыре фишки, расположенные так:  ××0××  (× – фишка, входящая в четвёрку, 0 – не входящая).
Удастся ли, используя несколько раз разрешённые операции, перевернуть все фишки синей стороной вверх?

Решение

Отметим пять фишек через одну. Заметим, что при каждой разрешённой операции переворачиваются ровно две отмеченные фишки. Сначала среди отмеченных фишек было 5 красных (имеется в виду верхний из цветов). При каждой операции количество красных фишек либо не меняется, либо изменяется на 2. Итак, среди отмеченных фишек красных фишек всегда остаётся нечётное число.

Ответ

Не удастся.

Замечания

Баллы: 8-9 кл. – 5, 10-11 кл. – 4

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	15
Дата	1993/1994
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	4
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	15
Дата	1993/1994
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	4