Задача 98256

Темы:    [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Условие

Автор: Фольклор

Натуральные числа a, b, c, d таковы, что  ab = cd.  Докажите, что найдутся такие натуральные u, v, w, z, что  a = uv,  b = wz,  c = uw,  d = vz.

Решение

Пусть  u = НОД(a, c).  Тогда  a = uv,  c = uw,  где v и w взаимно просты. Из данного равенства следует, что  vb = wd.  Значит, d делится на v:  d = vz  (см. задачу 60490). Подставляя в равенство и сокращая, получаем  b = wz.