ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98260
Темы:    [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Методы математического анализа (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На отрезке  [0, 1]  числовой оси расположены четыре точки: a, b, c, d.
Докажите, что найдётcя такая точка x, принадлежащая  [0, 1],  что  

 

Решение

Точки a, b, c, d делят отрезок  [0, 1]  не более чем на пять частей; хотя бы одна из этих частей является интервалом длины не меньше 0,2. Пусть x – центр этого интервала. Расстояние от x до концов этого интервала не меньше 0,1, а до других точек из числа a, b, c, d – больше 0,1. Поэтому два из чисел  |x – a|,   |x – b|,  |x – c|,  |x – d|  не меньше 0,1, а остальные два больше 0,1. Так что все обратные величины не больше 10, а две из них меньше 10. Следовательно, сумма этих обратных величин меньше 40.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 16
Дата 1994/1995
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .