Задача 98272

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Токарев С.И.

Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что их сумма равна их наименьшему общему кратному?
(Среди чисел могут быть равные.)

Решение

Пример: 1, 1, ..., 2, 2, ..., 4, 5, 6 (89 единиц, 8 двоек). Сумма этих чисел равна 120, и наименьшее общее кратное – тоже 120.

Ответ

Существуют.

Замечания

1. Можно добиться и того, что все числа различны: как сумма, так и НОК чисел 1, 3, 4, 8, 16, ..., 3·2⁹⁸, 2⁹⁹ (последовательные степени двойки, но на втором месте стоит 3, а на 99-м – 3·2⁹⁸) равны 3·2⁹⁹.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1995/1996
Номер	17
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2
олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Название	конкурс по математике
Дата	1995
Задача
Номер	2