ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 98279
Темы:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
[ Невыпуклые многоугольники ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Существуют ли два равных семиугольника, все вершины которых совпадают, но никакие стороны не совпадают?
б) А три таких семиугольника?


Решение

Пример строим так. Возьмём правильный треугольник ABC с центром O. Применим к треугольнику ABC гомотетию с центром в точке O и коэффициентом  k < 1,  повернём полученный треугольник на очень малый угол по часовой стрелке; полученный треугольник обозначим A'B'C' (см. рисунок).

Первый семиугольник – замкнутая ломаная AOC'A'CB'BA. Второй и третий семиугольники получаются из первого поворотом вокруг точки O на углы соответственно 120° и 240°. Эти три семиугольника удовлетворяют условиям задачи.


Ответ

а), б) Существуют.

Замечания

Баллы: 2+5

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1995/1996
Номер 17
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 5
журнал
Название "Квант"
год
Год 1996
выпуск
Номер 2
Задача
Номер М1536

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .