Задача 98279

Темы:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Невыпуклые многоугольники ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Произволов В.В.

а) Существуют ли два равных семиугольника, все вершины которых совпадают, но никакие стороны не совпадают?
б) А три таких семиугольника?

Решение

Пример строим так. Возьмём правильный треугольник ABC с центром O. Применим к треугольнику ABC гомотетию с центром в точке O и коэффициентом  k < 1,  повернём полученный треугольник на очень малый угол по часовой стрелке; полученный треугольник обозначим A'B'C' (см. рисунок).

Первый семиугольник – замкнутая ломаная AOC'A'CB'BA. Второй и третий семиугольники получаются из первого поворотом вокруг точки O на углы соответственно 120° и 240°. Эти три семиугольника удовлетворяют условиям задачи.

Ответ

а), б) Существуют.

Замечания

Баллы: 2+5

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1995/1996
Номер	17
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	5
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1996
выпуск
Номер	2
Задача
Номер	М1536