Выбрано 2 задачи 
Убрать все задачи
На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC взяты точки K и L соответственно, так что AK + LC = KL. Из середины M отрезка KL провели прямую, параллельную BC, и эта прямая пересекла сторону AC в точке N. Найдите величину угла KNL.
Кресла для зрителей вдоль лыжной трассы занумерованы по порядку: 1, 2, 3, ..., 1000. Кассирша продала n билетов на все первые 100 мест, но n больше 100, так как на некоторые места она продала больше одного билета (при этом n < 1000). Зрители входят на трассу по одному.Каждый, подойдя к своему месту, занимает его, если оно свободно, если же занято, говорит "Ох!", идёт в сторону роста номеров до первого свободного места и занимает его. Каждый раз, обнаружив очередное место занятым, он говорит "Ох!". Докажите, что число "охов" не зависит от того, в каком порядке зрители выходят на трассу.
|
|
 |
Условие
Кресла для зрителей вдоль лыжной трассы занумерованы по порядку: 1, 2, 3, ..., 1000. Кассирша продала n билетов на все первые 100 мест, но n больше 100, так как на некоторые места она продала больше одного билета (при этом n < 1000). Зрители входят на трассу по одному.Каждый, подойдя к своему месту, занимает его, если оно свободно, если же занято, говорит "Ох!", идёт в сторону роста номеров до первого свободного места и занимает его. Каждый раз, обнаружив очередное место занятым, он говорит "Ох!". Докажите, что число "охов" не зависит от того, в каком порядке зрители выходят на трассу.
Решение
Для каждого i от 1 до n обозначим через ki количество билетов, проданных на места от 1-го до i-го. Ясно, что, после того как все рассядутся, первые n мест будут заняты. При этом для каждого i от 1 до n при переходе от i-го места к (i+1)-му раздастся ровно ki – i охов: ведь именно такого количества мест не хватит обладателям билетов с номерами от 1-го до i-го.
Таким образом, от порядка, в котором зрители выходят на трассу, не зависит не только общее число произнесённых охов, но даже их количество, произнесённое при переходе от i-го места к (i+1)-му для каждого i.
Замечания
6 баллов
