Задача 98298

Темы:    [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Канель-Белов А.Я.

В ряд выписаны действительные числа a₁, a₂, a₃, ..., a₁₉₉₆. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.

Решение

Образуем числа  b₁ = {a₁},  b₂ = {a₁ + a₂},  b₃ = {a₁ + a₂ + a₃},  ..., b₁₉₉₆ = {a₁ + a₂ + a₃ + ... + a₁₉₉₆}.  Разделим отрезок  [0, 1]  на 1001 отрезочек длины ¹/₁₀₀₁. Какие-то два из чисел b₁, ..., b₁₉₉₆ окажутся на одном отрезочке (пусть это b_i и b_j,  i < j).  Это означает, что  a_i+1 + ... + a_j  отличается от целого числа не более чем на  ¹/₁₀₀₁ < 0,001.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1995/1996
Номер	17
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	3