Задача 98305

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Основные свойства и определения правильных многогранников ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Канель-Белов А.Я.

Можно ли разбить все пространство на правильные тетраэдры и октаэдры?

Решение 1

Разобьём все пространство на кубы. Раскрасим их в шахматном порядке. Вырежем из каждого куба правильный тетраэдр, образованный четырьмя вершинами куба (в белых кубах одним способом, а в чёрных – противоположным). Остаток состоит из четырёх восьмушек октаэдра. К каждой не попавшей в тетраэдры вершине сетки примыкает восемь таких восьмушек – от восьми кубов. Они склеиваются в октаэдр.

Решение 2

Отрежем от правильного тетраэдра четыре тетраэдра половинных размеров (каждый отсекается плоскостью, проходящей через середины трёх ребер, выходящих из одной вершины). Останется октаэдр. Следовательно, тетраэдр можно увеличить вдвое, пристыковав к нему октаэдр и еще три тетраэдра. Акккуратно продолжая процесс удвоения, мы заполним все пространство.

Ответ

Можно.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1995/1996
Номер	17
вариант
Вариант	весенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	4