|
|
 |
Условие
Кузнечик вначале сидит в точке M плоскости Oxy вне квадрата
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 (координаты M – нецелые, расстояние от M до центра квадрата равно d). Кузнечик прыгает в точку, симметричную M относительно самой правой (с точки зрения кузнечика) вершины квадрата. Докажите, что за несколько таких прыжков кузнечик не сможет удалиться от центра квадрата более чем на 10d.
Решение
Разобьём плоскость на квадраты со стороной 1. Так как координаты точки M – не целые числа, то кузнечик никогда не попадёт на границы квадратов. Следовательно, если мы знаем в каком квадрате находился кузнечик до прыжка, то мы можем определить в каком квадрате находится кузнечик после прыжка (самая правая вершина квадрата 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 не зависит от выбора точки внутри квадрата разбиения, а зависит лишь от квадрата). Легко проверить, что после любого количества прыжков кузнечик будет находиться в одном из заштрихованных квадратов (см. рис.). Действительно, симметрия относительно центра A исходного единичного квадрата очевидно переводит заштрихованный квадрат в заштрихованный, а изменение центра симметрии приводит, как легко проверить, к сдвигу полученного квадрата в соседний по диагонали заштрихованный квадрат. Осталось заметить, что отношение максимального расстояния от центра квадрата 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 до точек заштрихованной фигуры к минимальному расстоянию не превосходит 10.
Замечания
5 баллов
