Задача 98314

Темы:    [ Замощения костями домино и плитками ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Условие

Автор: Васильев Н.Б.

При каких целых значениях n правильный треугольник со стороной n можно замостить плитками, имеющими форму равнобочной трапеции со сторонами 1, 1, 1, 2?

Решение

  Правильный треугольник со стороной  n = 3k  легко разбить на правильные треугольнички со стороной 3. Каждый из них разбивается на три трапеции (см. рис.).

  Если правильный треугольник со стороной n разбит на m трапеций, то его площадь равна, с одной стороны, n²S, где S – площадь правильного треугольника со стороной 1, а с другой стороны, она равна 3mS (трапеция состоит из трёх треугольников со стороной 1). Отсюда  n²S = 3mS  или  n² = 3m,  то есть n кратно 3.

Ответ

При n, кратных 3.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	18
Дата	1996/1997
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2