Условие
Контуры выпуклых многоугольников F и G не имеют общих точек, причём G расположен внутри F. Хорду многоугольника F – отрезок, соединяющий две точки контура F, назовём опорной для G, если она пересекается с G только по точкам контура: содержит либо только вершину, либо сторону G.
а) Докажите, что найдётся опорная хорда, середина которой принадлежит контуру G.
б) Докажите, что найдутся две такие хорды.
Решение
а) Рассмотрим какую-либо опорную хорду и будем поворачивать её против часовой стрелки так, чтобы она все время оставалась опорной. В каждом положении опорная хорда делит многоугольник F на две части, одна из которых не содержит многоугольник G. Площадь этой части, очевидно, является непрерывной функцией от угла поворота, и следовательно, на отрезке [0, 2π] достигает максимума. Докажем, что середина опорной хорды, отсекающей от F кусок максимальной площади, принадлежит контуру G.
Предположим, что это не так: опорная хорда
KL (см. рис.) отсекает от
F кусок максимальной площади (на рисунке он справа от хорды), но её середина не принадлежит контуру
G. Хорда
KL содержит одну или две вершины
G. Пусть
A – ближайшая из них к середине
KL и
AL > AK (лежащая на
KL вторая вершина, если она есть, расположена на отрезке
AK). Рассмотрим достаточно близкую к
KL опорную хорду
MN, проходящую через точку
A и такую, что точка
M принадлежит той части отсекаемой хордой
KL, площадь которой нас интересует, той же стороне контура
F, что и точка
K, и что симметричный
KM относительно точки
A отрезок
K'M' лежит внутри
F и вне
G (это возможно, так как согласно нашим предположениям точка
K', а значит, и все близкие к ней точки, лежат внутри
F и вне
G). Мы видим, что площадь куска, отсечённого хордой
MN, больше площади куска, отсечённого хордой
KL. Действительно, мы потеряли треугольник
AKM, но зато приобрели больший по площади треугольник
ALN (он содержит внутри себя треугольник
AK'M', равный треугольнику
AKM). Но это противоречит максимальности площади куска, отсечённого хордой
KL. Значит, предположение о том, что середина
KL не принадлежит контуру, было неверным.
б) Точно так же как в а) доказывается, что середина опорной хорды, отсекающей от F кусок минимальной площади, принадлежит контуру G.
Замечания
баллы: 6 + 2
Источники и прецеденты использования
