Задача 98361
|
|
 |
Условие
Последовательность {xn} определяется условиями: xn+2 = xn – 1/xn+1 при n ≥ 1.
Докажите, что среди членов последовательности найдётся ноль. Найдите номер
этого члена.
Решение
Заметим, что если некоторый член этой последовательности равен 0, то следующие члены не определены, так как в формуле для определения первого из них содержится деление на 0. Все дальнейшие рассуждения относятся к членам последовательности до этого нуля включительно (или к бесконечной последовательности, если нуля нет).
Имеем: xn+2xn+1 = xn+1xn – 1.
xk = 0 тогда и только тогда, когда xk–1xk–2 = 1, xk–2xk–3 = 2, ..., x3x2 = k – 3, x2x1 = k – 2 = 19·97. Следовательно, k = 19·97 + 2 = 1845.
Ответ
1845.
