Задача 98369
|
|
 |
Условие
Докажите, что уравнение xy(x – y) + yz(y – z) + zx(z – x) = 6 имеет бесконечно много решений в целых числах.
Решение
xy(x – y) + yz(y – z) + zx(z – x) = xy(x – y) + yz(y – z) + zx((z – y) + (y – x)) = xy(x – y) – zx(x – y) + yz(y – z) – zx(y – z) =
= x(y – z)(x – y) + z(y – z)(y – x) = – (x – y)(y – z)(z – x).
Теперь понятно, что если (x, y, z) – решение, то для любого целого t тройка (x + t, y + t, z + t) тоже является решением. Таким образом, из частного решения (3, 1, 0) получаем бесконечную серию (t + 3, t + 1, t).
Замечания
4 балла
